另类自然数系异变（番外）
和通常人们想象的不一样，数学里，我们并不总是通过已有的东西来定义新的东西。像是自然数，我们只描述它具有的性质来定义这个东西。至于它究竟是什么，我们倒是不怎么关注。
(资料图片)
嘛，不妨整个活。(笑)
皮亚诺公理(规定了自然数系是一条有头 无尾 不绕回的独链):
1.首先，存在一个“0”，或者说原点，那就将“红白”作为“0”好了。
2.然后，自然数会增长，自然数n后面的n++也是自然数。这里对“++”(增长)没有进一步定义，我们就把它称作“是……的朋友”好了，再把“是自然数”改一改，叫做“是弹幕强者”
总结一下:1.红白是弹幕强者。2.弹幕强者的朋友也是弹幕强者。
我们把红白的朋友称作黑白，可以知道黑白也是弹幕强者，她的朋友也是弹幕强者，再把黑白的朋友叫作姆q，以此类推。(怎么类推啊铁咩)
3.“0≠n++”是皮亚诺公理之三，说明没有弹幕强者的朋友是红白。
4.“n++=m++⇒n=m”:如果两个弹幕强者的朋友是同一个，那这两个弹幕强者其实是同一个人。(完全没道理啊。。)
现在定义缺是芙兰的朋友，芙兰是中国的朋友，中国是pad的朋友，pad是阿夸的朋友，阿夸是姆q的朋友。(quin也事弹幕强者(确信))
命题1:证明缺≠阿夸
证明:反证，假设有缺=阿夸，那么缺是芙兰的朋友，阿夸是姆q的朋友，由公理4，知芙兰=姆q→中国=黑白→pad=红白。已知pad是阿夸的朋友，因此阿夸的朋友=红白，这与公理3矛盾。因此缺≠阿夸。
5.“若P(0)成立，且P(n)成立可推出P(n++)成立，则对于任意的自然数n，有P(n)成立”，比如现在我想证明所有弹幕强者都是美少女，我只用证明红白是美少女，并且如果一个弹幕强者是美少女，那她的朋友也是美少女。这个逻辑没问题吧。
完成了上面的定义之后，我们就得到一个很有意思的集合，可以起个名字比如D（弹幕强者的集合）。
D:={红白，黑白，姆q，阿夸，pad，中国，芙兰，小秦，……}
接下来的部分是递归定义，和上文关系不大，可跳过。
递归定义是一种保证了明确的同时很简洁的定义模式，给个加法的例子:对于给定的一个自然数m，定义“n+m”为:
+m:=m；
2.(n++)+m:=(n+m)++。
看着怪怪的，对吧，我们可以实际用用看。
例2:计算2+3
解:2:=1++，原式=(1++)+3，根据加法定义2:
原式=(1+3)++，同理:
原式=((0+3)++)++，再根据加法定义1:
原式=(3++)++=4++=5
这个过程看起来神必的很。我要说明的是，递归定义有一个模式，是说:如果你想定义一种新的运算，你可以这么做（目前先只看在自然数内）:
首先，你得有:
1.一系列函数fn：N→N，这是一系列已知的运算，对于任何的自然数n都成立。就比如加法运算里出现的“++”
2.一个自然数c。
我们做的事就是:
1.我们将想定义的运算的结果用an表示。首先让a0=c。
2.再规定an++=fn(an)
我们会发现一个事实，就是如果这样定义的话，那么会得到对任意的n，都只有唯一的an与之对应。并且an不会被重复定义。翻译成人话就是能保证我们定义的东西就是没啥毛病的。
接着，我把它用函数再重写一遍，并且证明这是对的。（最好看一看）
上面的内容可以写成:唯一存在函数a:N→N，满足a(0)=c，且对∀n∈N，有a(n++)=f(n，a(n))。
在证明这个命题之前，我们先来确认一件事：如果将约束条件作为a的定义，那a(n)是不会存在两个不同的结果的。首先当n=0时，a(0)=c，如果想要a(0)具有其它结果，只可能a(0)=f(0，a(n++))，满足n++=0，与公理3相违背。归纳性地假设对于任意一个n，已经证明该结论。我们来证明a(n++)只有一个结果：利用反证法，如果a(n++):=f(n，a(n))，想要通过m∈N，m≠n的其它值，以a(m++):=f(m，a(m))，覆写a(n++)的定义，只有让n++=m++，由公理4可知此时n=m，产生了矛盾。反证和归纳至此都结束了。可知这种定义下的a是可以存在的。
这里的函数f：N×N→N，没具体说是啥，而且也不太好说。相当于上面的fn，只是从一系列函数写成了一个二元函数。
前置证明:对∀N∈N（前一个N指的是元素，后一个是自然数集，在这里用黑体区别），∃!函数aN：{n∈N：n≤N}→N，满足aN(0)=c，且对自然数n<N，aN(n++)=f(n,a(n))恒成立。
用归纳法证明:若N=0，则函数a0：{0}→N，将其定义为a0(0):=c。容易证明这个函数存在，满足后面的要求，并且唯一。
现在归纳性的假设对于任意一个N，已经证明了上面的结论，那么对于函数aN++，我们可以定义当自然数n≤N时，aN++(n):=aN；当n=N++时，定义aN++(n)=f(n，a(n))。由开始的证明可知，此函数显然存在。并且aN++(0)=aN(0)=c。n<N++等价于n≤N（略去证明），只用证n<N时成立第二个条件（由归纳性的假设），和n=N时成立第二个条件（由函数在N++时的定义）。故，此时aN++满足所有要求。
假设存在函数b与aN++定义域值域都相同，而且满足b(0)=c，且有b(n++)=f(n，a(n))，由函数定义不难证明b=aN++。因此函数aN++是唯一的。归纳结束。
很好，我们已经证明了定义域有限情况下这种函数是成立的，那么该怎么保证有a：N→N这种定义域无限的情况也成立呢?
我们只需要把函数a:N→N，对任意N∈N定义为a(N):=aN(N)即可。
我们可以检验一下这个函数:
(0)=a0(0)=c
(1)=a1(1)=a1(0++)=f(0，a(0))
(n++)=an++(n++)=f(n，a(n))
确实是没啥毛病的。
此时重写加法定义:
任意假设一个自然数m，我们定义这样的函数“+m”：N→N。（我们将自变量写在函数左边）
并且，我们规定函数f：N×N→N，满足f(x，y)=y++
1.“+m”(0):=m，即 0+m:=m
2.“+m”(n++):=f(n，“+m”(n))，即(n++)+m:=“+m”(n)++=(n+m)++
那么，这时候可能会有friends要问了：这个f(n，a(n))中的n有什么用呢？
我的回答是：在一些要记录状态的运算里可以用到。
例3:阶乘计算的定义:
假设函数f：N×N→N，满足f(x，y)=y×(x++)。给定自然数1。规定“n！”为函数a：N→N，满足:
(0):=1，即0！=1
(n++):=f(n，a(n))=a(n)×(n++)
例4:计算3！
解：与加法类似，3！=(2++)！=(2！)×3=1！×2×3=0！×1×2×3=6
大概就是这样。(才不会告诉你我被这个劳什子f(n，a(n))折磨了一天一夜了呢。。)
好吧，现在让我们回归到这样一个事实:自然数系实际上只有一个。以N和D举例子:就是存在双射函数f：N→D，满足f(0)=红白，且对于任何自然数n，f(n)=某强者⇔f(n++)=某强者的朋友。
定义函数为f(0):=红白，f(n++):=f(n)的朋友
首先，它是一个函数，对于任意自然数n，当n=0时，f(0)有明确定义；归纳性地假设在n时结论成立，那么f(n++)=f(n)的朋友，显然也是有明确定义的。
再证明其满足要求:假设存在某弹幕强者⑨，证明f(n)=⑨⇔f(n++)=⑨的朋友。
根据公理4和函数f定义这是显然的。
最后证f为双射:
1.首先它是单射。对于任意给定的m，假设f(n)=f(m)，证明n=m，用归纳法：=0，则f(m)=红白，若m≠0，存在b++=m，有f(b)的朋友=红白，但没有强者的朋友是红白，故m=0=n。2.假设n结论成立证f(n++)=f(m++)能推出结论。由函数f定义得f(n)的朋友=f(m)的朋友，进而根据公理4，知f(n)=f(m)，进而由假设n=m，n++=m++，归纳结束。故得证f是单射。
2.接着证f是满射。即证对任意的一个弹幕强者⑨，都有自然数n满足⑨=f(n)。运用归纳法：当⑨=红白时，存在n=0，满足等式；归纳⑨，证⑨友，已知⑨=f(n)，则由公理4，⑨友=f(n)
的朋友，由定义为f(n++)，故对于⑨友，有n++满足等式。归纳结束。f是满射。
概念补充:
1.函数f：X→Y，X称为函数定义域，Y称为函数值域。
2.函数相等当且仅当函数定义域值域都相等，且对于定义域里面的任意一个元素，它们分别对应的对象也相等。
×Y叫做X和Y的笛卡尔积。
4.如果一个关系，满足定义域中的所有元素，都有值域中的元素对应，那么就成立一个函数描述这个关系。
5.如果对于定义域中不同的元素，它们在值域中的对应也不同，则这个函数是单射的。或者说一对一的。
6.如果值域里的所有元素都有对应，则这个函数是满射的。
7.如果函数既是单射，又是满射，那它是双射的，或者叫一一对应的。
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